第六节：图（上）

6.1 图

1.关于图

图表示的是“多对多”的关系。它包含：

（1）一组顶点：通常用V（Vertex）表示顶点集合。

（2）一组边：通常用E（Edge）表示边的集合，表示顶点与顶点的关系：

①边是顶点对：(v,w)∈E，其中v,w∈V。这是一个双向的。

②有向边：<v,w>，表示从v指向w的边（单行线）。

③不考虑重边和自回路。

其抽象数据类型为：

类型名称：图（Graph）

数据对象集：一非空的顶点集合Vertex和一个边集合Edge，每条边用对应的一对顶点表示。

操作集：对于任意的图G Î Graph，顶点v、v1和v2 Î ertex，以及任一访问顶点的函数visit()，操作举例：

Graph Create( )：构造并返回一个空图；

void Destroy( Graph G )：释放图G占用的存储空间；

Graph InsertVertex( Graph G, Vertex v )：返回一个在G中增加了新顶点v的图

Graph InsertEdge( Graph G, Vertex v1, Vertex v2 )：返回一个在G中增加了新边 (v1, v2) 的图；

Graph DeleteVertex( Graph G, Vertex v )：删除G中顶点v及其相关边，将结果图返回；

Graph DFS（ Graph G, Vertex v, visit()）：在图G中，从顶点v出发进行深度优先遍历；

图的一些分类：

（1）无向图。边（v, w）等同于边（w, v）。用圆括号“（）”表示无向边。

（2）有向图（Directed Graphs）: 边<v, w>不同于边<w, v>。用尖括号“< >”表示有向边；有向边也称“弧（Arc）”。

（3）简单图（Simple Graphs）:没有重边和自回路的图。

（4）邻接点: 如果（v, w）或 < v, w >是图中任意一条边，那么称v和w互为“邻接点（Adjacent Vertices）”。

（5）路径、简单路径、回路、无环图：

图G中从_vp 到 vq_ 的路径 = { _vp_, _vi_1, _vi_2, ×××, _vin_, _vq_ } 使得( _vp_, _vi_1 ), ( _vi_1, _vi_2 ), ×××, ( _vin_, _vq_ ) 或 < _vp_, _vi_1 >, ×××, < _vin_, _vq_ > 都属于E( G )。

路径长度：路径中边的数量。

简单路径：_vi_1, _vi_2, ×××, _vin_ 都是不同顶点。

回路：起点和终点相同（_vp_ = _vq_ ）的路径。

无环图：不存在任何回路的图。

有向无环图：不存在回路的有向图，也称DAG（Directed Acyclic Graph）。

（6）完全图：分为有向完全图（n(n-1)条边）和无向完全图（n(n-1)/2条边）。

（7）度：与顶点v相关的边数。从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”。

（8）稠密图、稀疏图：是否满足 |E| > |V|log2|V|，作为稠密图和稀疏图的分界条件。

（9）权（Cost） 、网络（Network）。

（10）图G的子图 G’ ： V( G’ ) Í V( G ) && E( G’ ) Í E( G )。

（11）无向图的顶点连通、连通图、连通分量：如果无向图从一个顶点_vi_到另一个顶点_vj (i≠j)_有路径，则称顶点_vi_和vj是“连通的（Connected）”；无向图中任意两顶点都是连通的，则称该图是“连通图（Connected Graph）”；无向图的极大连通子图称为“连通分量（Connected Component）”。连通分量的概念包含以下4个要点：_子图、连通、极大顶点数、极大边数_

（12）有向图的强连通图、连通分量：有向图中任意一对顶点_vi_ 和_vj (i≠j)_均既有从_vi_到_vj_的路径，也有从_vj_到_vi_的路径，则称该有向图是“强连通图（Strongly Connected Graph）”。有向图的极大强连通子图称为“强连通分量（Strongly Connected Component）”。连通分量的概念也包含前面4个要点。

（13）树、生成树：树是图的特例：无环的无向图。

所谓连通图G的“生成树（Spanning Tree）”，是G的包含其全部n 个顶点的一个极小连通子图。它必定包含且仅包含G的n-1条边。

生成树有可能不唯一。

当且仅当G满足下面4个条件之一（完全等价）：

① G有n-1条边，且没有环；

② G有n-1条边，且是连通的；

③ G中的每一对顶点有且只有一条路径相连；

④ G是连通的，但删除任何一条边就会使它不连通。

2.表示图——邻接矩阵

邻接矩阵G[N][N]-N个顶点从0到N-1编号。其中G[i][j]=1（若<vi,vj>是G中的边）或0（不是G中的边）。可以看出邻接矩阵有以下特点：

（1）主对角线全为0；

（2）这是一个对称矩阵。

那么，对于无向图来说，怎样可以节省一半空间？

可以用一个长度为N(N+1)/2的1维数组A存储{G00,G10,…,G(n-1)0,…,G(n-1)(n-1)}。则Gij在A中对应的下标是：(i*(i+1)/2+j)。对于网络，只要把G[i][j]的值定义为边<vi,vj>的权重即可。

问题：vi和vj在网络中它们之间没有边该如何表示？

邻接矩阵有以下优点：

（1）直观、简单、好理解；

（2）方便检查任意一对顶点间是否存在边；

（3）方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）；

（4）方便计算任一顶点的“度”：

对于无向图来说，对应行（列）非0的元素的个数。对于有向图来说，对应行非0元素的个数是“出度”，对应列非0元素的个数是“入度”。

邻接矩阵的缺点：

（1）浪费空间：存稀疏图有大量无效元素。但是对于稠密图（特别是完全图）还是很合算。

（2）浪费时间：统计系数图中一共有多少条边。

3.表示图——邻接表

邻接表：G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。对于图G中的每个顶点_vi_，将所有邻接于_vi_的顶点_vj_链成一个单链表，这个单链表就称为顶点_vi_的邻接表，再将所有点的邻接表表头放到一个数组中，就构成了图的邻接表。

一定要够稀疏用邻接表才合算！！！！

邻接表的特点：

（1）方便找任一顶点的所有“邻接点”。

（2）节约稀疏图的空间：需要N个头指针+2E个结点。

（3）方便计算任一顶点的“度”：对于无向图来说是如此，对于有向图来说，这只能计算“出度”；需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边）来方便计算“入度”。

6.2 图的遍历

1.深度优先搜索（DFS）

代码实现：

void DFS( Graph G, int V )
{ / 从第V个顶点出发递归地深度优先遍历图G /
VertexType W;
Visited[V] = TRUE;
VisitFunc(V); / 访问第V个顶点 /
for( W = FirstAdjV(G, V); W; W = NextAdjV (G, V, W) )
if( !Visited[W] )
DFS(G, W); / 对V的尚未访问的邻接顶点W递归调用DFS /
}

这段代码的意思是，首先我们开始访问，然后每访问一个节点，都将其标记为True，然后开始访问V的邻接点，如果没访问，那就去访问并且置为True，当看到邻接点都是True时，我们原路返回，若发现没访问过的邻接点，立即去访问；如果没有发现，继续原路返回，直到返回到第一个结点。

若由N个顶点，E跳边，时间复杂度是：

（1）用邻接表存储图：O(N+E)；

（2）用邻接矩阵，有O(N2)。

2.广度优先搜索（BFS）

相当于层序遍历。

void BFS(Graph G)
{ / 按广度优先遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组Visited /
Queue Q; VertexType U, V, W;
for ( U = 0; U < G.n; ++U ) Visited[U] = FALSE;
Q = CreatQueue( MaxSize ); / 创建空队列Q /
for ( U = 0; U<G.n; ++U )
if (!Visited[U] ) { / 若U尚未访问 /
Visited[U] = TRUE;
VisitFunc(U); / 访问U /
AddQ (Q, U); / U入队列 /
while ( ! IsEmptyQ(Q) ) {
V = DeleteQ( Q ); / 队头元素出队并置为V /
for( W = FirstAdjV(G, V); W; W = NextAdjV(G, V, W) )
if ( !Visited[W] ) {
Visited[W] = TRUE;
VisitFunc (W); / 访问W /
AddQ (Q, W);
}
} / while结束/
} / 结束从U开始的BFS */
}

若由N个顶点，E跳边，时间复杂度是：

（1）用邻接表存储图：O(N+E)；

（2）用邻接矩阵，有O(N2)。

6.3 图的应用

1.应用实例：拯救007

如图1所示，如何让007通过这一个个结点（鳄鱼），一步一步跳到岸边呢？这里用深度优先算法更为合适。

原来的总体算法（伪代码）：

void ListComponents(Graph G)
{
for(each V in G)
if(!visited[V]){
DFS(V);
}
}

这里的总体算法（伪代码）：

void Save007(Graph G)
{
for(each V in G)
if(!visited[V]&& FirstJump(V))/判断是否踩过这个鳄鱼还有是否能够得着/
{
answer = DFS(V);
if(answer ==YES) break;
}
if(answer ==YES) output(“YES”);
else output(“BYEBYE”);
}

DFS部分的伪代码：

int DFS(Vertex V)
{
visited[V] = True;
if(IsSafe(V)) answer = YES;
else{
for(V的每个邻接点W)
if(!visited[W]&& Jump(V,W))
/*Jump计算两个鳄鱼之间距离是否小于007最大跳动距离*/
{
answer=DFS(W);
DFS(W);
}
}
return answer;
}

6.4 图的建立

1.用邻接矩阵表示图

typedef struct GNode PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv;/顶点数/
int Ne;/边数/
WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum];
DataType Data[MaxVertexNum];/存顶点的数据/
};
typedef PtrToGNode MGraph;/以邻接矩阵存储的图类型*/

2.初始化图

typedef int Vertex;/用顶点下标表示顶点，为整型/
MGraph CreateGraph(int VertexNum)
{
Vertex V,W;
MGraph Graph;
Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne = 0;

/*这里默认顶点标号从0开始，到(Graph->Nv-1)*/
for(V=0;V<Graph->Nv;V++)
       for(W=0;W<Graph->Nv;W++)
              Graph->G\[V\]\[W\] = 0;/*有向图是INFINITY*/
return Graph;

}

3.插入边

typedef struct ENode PtrToGNode;
struct ENode
{
Vertex V1,V2;/有向边<V1,V2>/
WeightType Weight;/权重*/
};
typedef PtrToGNode Edge;

void InsertEdge( MGraph Graph, Edge E)
{
/插入边<V1,V2>/
Graph->G[E->V1][E->V2]=E->Weight;
/无向图/
Graph->G[E->V2][E->V1]=E->Weight;

}

4.建立图

（1）输入格式：Nv Ne

V1 V2 Weight

代码如下：

MGraph BuildGraph()
{
Edge E;
MGraph Graph;
Vertex V;
int Nv,i;
scanf(“%d”,&Nv);
Graph = CreateGraph(Nv);
scanf(“%d”,&(Graph->Ne));
if(Graph->Ne!=0)
{
E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode));
for(i=0;iNe;i++){
scanf(“%d %d %d”,&E->V1,&E->V2,&E->Weight);
InsertEdge(Graph, E);
}
}
/如果顶点有数据的话，读入数据/
for(V=0;VNv;V++)
scanf(“%c”,&(Graph->Data[V]));

return Graph;

}

但是这样来说太麻烦了，如果不要这么麻烦，一个整体的程序（不再需要子程序）可以如下：

int G[MAXN][MAXN],Nv,Ne;
void BuildGraph()
{
int i,j,v1,v2,w;
scanf(“%d”,&Nv);
/*CreateGraph*/
for(i=0;i<Nv;i++)
for(j=0;j<Nv;j++)
G[i][j]=0;/初始化，有向图为无穷/
scanf(“%d”, &Ne);/输入有多少个结点/
for(i=0;i<Ne;i++)
{
scanf(“%d %d %d”, &v1,&v2,&w);
/将边插入/
G[v1][v2]=w;
G[v2][v1]=w;
}
}

一气呵成。

5.邻接表表示的图结点的结构

邻接表：G[N]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非0元素。

typedef struct GNode PtrToGNode;
struct GNode{
int Nv;/顶点数/
int Ne;/边数/
AdjList G;/邻接表*/
};
typedef PtrToGNode LGraph;

typedef struct Vnode{
PtrToAdjVNode FirstEdge;
DataType Data;/存顶点的数据/
}AdjList[MaxVertexNum];
/*AdjList是邻接表类型*/

typedef struct AdjVNode PtrToAdjVNode;
struct AdjVNode{
Vertex AdjV;/邻接点下标/
WeightType Weight;
PtrToAdjVNode Next;/指向下一个邻接点的指针*/
};

6.邻接表表示的图-建立图

（1）初始化一个由VertexNum个顶点但没有边的图

typedef int Vertex;/用顶点下标表示顶点，为整型/
LGraph CreateGraph(int VertexNum)
{
Vertex V,W;
LGraph Graph;

Graph = (LGraph)malloc(sizeof(struct GNode));
Graph->Nv = VertexNum;
Graph->Ne =0;
/*每一个顶点跟着的链表都是空的为没有边*/
for(V=0;V<Graph->Nv;V++)
       Graph->G\[V\].FirstEdge = NULL;
return Graph;

}

（2）向LGraph中插入边

void InsertEdge(LGraph Graph, Edge E)
{
PtrToAdjVNode NewNode;

/*插入边<v1,v2>*/
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV=E->V2;
NewNode->Weight = E->Weight;
/*将V2插入V1的表头*/
NewNode-Next = Graph->G\[E->V1\].FirstEdge;
Graph->G\[E->V1\].FirstEdge = NewNode;

/*若是无向图，还要插入边<V2,V1>*/
/*为V1建立新的邻接点*/
NewNode = (PtrToAdjVNode)malloc(sizeof(struct AdjVNode));
NewNode->AdjV=E->V1;
NewNode->Weight = E->Weight;
/*将V1插入V2的表头*/
NewNode-Next = Graph->G\[E->V2\].FirstEdge;
Graph->G\[E->V2\].FirstEdge = NewNode;

}

（3）完整建立LGraph

LGraph BuildGraph()
{
LGraph Graph;
/剩余与邻接矩阵完整版类似/
}